انقلاب رياضي
 
نيوشا قانعي - www.pejhvak.com

در بخش گذشته با ارباب فيزيک جهان، «ايزاک نيوتن»، آشنا شديم و مي خواهيم در اين بخش با دستاوردهاي بزرگ او براي فيزيک آشنا شويم.

فرض کنيم هر فيزيکدان يک مکانيک خودرو است. در اين صورت اگر هر کدام از اين مکانيک ها به يک اندازه دانش تعمير خودرو داشته باشند، پس مي توان گفت مکانيکي بهتر کار تعمير خودرو را انجام مي دهد که از ابزار و امکانات بهتري برخوردار باشد. رياضيات ابزار اصلي کار فيزيکدانان است، چرا که بايد با قوانين رياضي اتفاقات طبيعي مشاهده شده را به يکديگر مربوط سازد، پس بهتر اين است که بررسي دستاوردهاي علمي «ايزاک نيوتن» را با بررسي دستاوردهاي او براي رياضي آغاز کنيم.

در بخش گذشته بيان کرديم که «نيوتن» فلاکسيون (حسابان) را از بررسي دو پرسش ابداع کرد.

1- در صورتي که معادله يک حرکت، پيوسته باشد به چه صورتي مي توان معادله سرعت حرکت را به دست آورد؟ (و برعکس همين پرسش) 2- در صورتي که معادله سرعت حرکت را داشته باشيم، معادله حرکت را چگونه به دست آوريم؟ اما از آنجايي که «نيوتن» در پي ابداع روشي عام بود، اين سوال را کمي متفاوت مطرح کرد و در تعريف جديد به جاي تغييرات مکان يا سرعت، سعي کرد بيان کند «هر تغييري».(در اين تعريف به جنس متغير توجه نمي شد، بلکه فقط به ميزان تغييرات نسبت به عاملي خارجي که رابطه يي پيوسته با متغير دارد، توجه مي شد.) کمي پس از «نيوتن» و البته به طور مستقل فردي به نام «لايبنيتس» نيز حسابان را عرضه کرد، البته با نمادگذاري متفاوت، که امروزه ما پس از گذشت تقريباً سه ونيم قرن، همچنان از نمادهاي «لايبنيتس» استفاده مي کنيم. در روند ايجاد حسابان تعريف هاي مهمي در رياضي پديد آمد که امروزه اساس کار رياضيدانان است که از جمله آنها مي توان به «مشتق» اشاره کرد. در گفتاري ساده مي توان مشتق را چنين بيان کرد؛ «مثلاً اگر تابعي به نام مکان داشته باشيم و نمودار اين تابع را نسبت به متغيري مثل زمان رسم کنيم، مشتق برابر خواهد بود با شيب خط مماسي که در هر نقطه با نمودار تابع مکان رسم مي کنيم. به بيان ديگر مشتق برابر است با نسبت تغييرات تابع مکان به تغييرات متغير زمان، هنگامي که تغييرات متغير زمان به صفر ميل مي کند.» (که در اين مثال مشتق تابع مکان نسبت به متغير زمان، سرعت جسم را مي دهد. در مثال بالا هر تابع يا متغيري را مي توان قرار داد.) هر معادله يي که در آن مشتق وجود داشته باشد، «معادله ديفرانسيل» است. در رياضي فيزيک، معادله ديفرانسيل همه جا وجود دارد و يکي از جذابيت هاي مهم فيزيک نظري اين است که مي توان قوانين آن را (به جز البته چند استثنا) به صورت فشرده به زبان متداول معادلات ديفرانسيل بيان کرد. نظريه پردازان فيزيک معمولاً نظريه هايشان را ابتدا با نوشتن معادلات ديفرانسيل طرح مي کنند، اما اين کار دو اشکال عمده دارد؛ «1- اين معادلات براي پيش بيني آزمايش هاي بعدي و مشاهده هاي ديگر و مقايسه آنها با يکديگر در يک نظريه کافي نيست. 2- حل اين معادلات که البته لباسي ساده بر تن کرده اند بسيار مشکل است.» از همين رو «نيوتن» و «لايبنيتس» با بيان مبحثي به نام انتگرال، سعي کردند اين مشکل را حل کنند و انقلاب ديگري در رياضيات به پا کردند (البته انتگرال و مشتق، تقريباً همزمان با هم به وجود آمد چرا که انتگرال کاملاً مربوط و در ادامه مشتق است). با گفتاري ساده مي توان انتگرال را چنين بيان کرد؛ «فرض کنيم تابعي به نام سرعت حرکت يک جسم داريم که نسبت به متغيري به نام زمان تغيير مي کند. اگر نمودار اين تابع را نسبت به متغيرش رسم کنيم، انتگرال اين تابع برابر خواهد بود با سطح بين نمودار تابع و محور متغير. نکته يي که بايد به آن توجه کرد، اين است که در محاسبه سطح زير نمودار بايد از مستطيل هايي استفاده کرد که طول مستطيل مربوط به دو نقطه پياپي از تابع و عرض مستطيل دو نقطه پياپي از متغير است. حال اگر عرض اين مستطيل ها به صفر يا به بيان ديگر تعداد اين مستطيل ها به بي نهايت ميل کند، مي توانيم با جمع کردن سطح اين مستطيل ها انتگرال اين تابع را حساب کنيم.» (در اين مثال انتگرال تابع سرعت جسم، معادله حرکت جسم را مي دهد، به بيان ديگر انتگرال عکس عمل مشتق است). پس از اينکه «نيوتن» و «لايبنيتس» توانستند مفهوم انتگرال را به وجود آورند، توانستند معادلات بزرگي را در آن زمان حل کنند، البته «لايبنيتس» صرفاً به بخش رياضي موضوع پرداخت و از جريان فيزيکي تقريباً به دور بود. جالب اينکه قبل از آنکه «نيوتن» به واسطه کارهاي شگرفش در رياضيات و فيزيک مطرح شود، به سبب کارهاي عملي اش مطرح شد.

«نيوتن» در دوران زندگي خود کارهاي بزرگي انجام داد که مي توان از آن جمله به طراحي و ساخت تلسکوپ بازتابي (تلسکوپ نيوتني) اشاره کرد. که در آن بازتاب نور ورودي به وسيله آينه کاوي که در انتهاي لوله تلسکوپ قرار دارد، جمع آوري مي شود و توسط يک آينه تخت 45 درجه به سمت بيرون لوله تلسکوپ هدايت مي شود. «نيوتن» اولين تلسکوپ خود را در سال 1668 ساخت که 40 برابر بزرگنمايي داشت. «نيوتن» به واسطه تجربيات و درک مفهومي و دانش رياضي توانست مفهوم گرانش را به درستي بيان کند و رابطه آن را به دست آورد. در بخش بعدي با بزرگ ترين دستاورد «نيوتن» (رابطه گرانش) آشنا مي شويم.